Дводимензионални простор

Бидимензионални Декартов координатни систем

Дводимензионални простор (скраћено 2Д простор или само 2Д; такође познат као бидимензионални простор) геометријска је поставка у којој су потребне две вредности (зване параметри) да би се одредио положај елемента (тј. тачка). Скуп ℝ² парова реалних бројева одговарајуће структуре често служи као канонски пример дводимензионалног Еуклидијског простора. За генерализацију појма, погледајте димензију.

Дводимензионални простор може се посматрати као пројекција физичког универзума на раван. Обично се мисли као Еуклидски простор, а две димензије се називају дужина и ширина.

Историја

Књиге I до IV и VI Еуклидових елементата се баве дводимензионалном геометријом, развијајући такве појмове као што су сличност облика, Питагорина теорема (предлог 47), једнакост углова и површина, паралелизам, збир углова у троуглу и три случаја у којима су троуглови „једнаки” (имају исту површину), међу многим другим темама.

Касније је раван описана у такозваном Картезијанском координатном систему, координатном систему који сваку тачку у равни јединствено одређује паром нумеричких координата, које су удаљености од тачке до две фиксне нормалне усмерене линије, мерене у истим јединицама дужине. Свака референтна линија назива се координатном осом или само осом система, а тачка на којој се сусрећу је његов координатни почетак, обично у уређеном пару (0,0). Координате се такође могу дефинисати као положаји нормалних пројекција тачке на две осе, изражене као удаљености од координатног почетка.

Идеја о овом систему развијена је 1637. године у списима Декарта и независно од Пјера де Ферма, мада је Ферма такође радио у три димензије и није објавио откриће. Оба аутора су користила једну осу у својим третманима и имају променљиву дужину мерену у односу на ову осу. Концепт коришћења пара оса је уведен касније, након што су Франс ван Шотен и његови ученици превели Декартов рад La Géométrie на латински језик 1649. године. Ови коментатори су увели неколико концепата док су покушавали да разјасне идеје садржане у Декартовом делу.

Касније се о равни размишљало као о пољу, где се било које две тачке могу множити и, осим нуле, делити. То је било познато као комплексна раван. Комплексна раван се понекад назива и Арганова раван, јер се користи у Аргановим дијаграмима. Она је названа по Жан Роберу Аргану (1768–1822), мада ју је први описао данско-норвешки геодет и математичар Каспар Весел (1745–1818). Арганови дијаграми често се користе за цртање положаја полова и нула функције у комплексној равни.

У геометрији

Главни чланак: Плане (геометрy)

Такође погледајте: Еуклидова геометрија

Координатни системи

За више информација погледајте: Координатни систем

У математици, аналитичка геометрија (такође позната као Катезијанска геометрија) описује сваку тачку у дводимензионом простору путем две координате. Две нормале координатних оса су дате, које се укрштају у координатном почетку. Оне се обично обележавају са x и y. Релативно на ове осе, позиција било које тачке у дводимензионалном простору је дата уређеним паром реалних бројева, при чему сваки број даје растојање те тачке од координатног почетка мерено дуж дате осе, што је једнако растојању дате тачке од друге осе.

Још један широко коришћени координатни систем је поларни координатни систем, који одређује тачку у смислу удаљености од координатног почетка и њеног угла у односу на десни референтни зрак.

• 
  Декартов координатни систем
• 
  Поларни координатни систем

Политопи

Главни чланак: Полигон

У две димензије постоји бесконачно много политопа: полигона. Првих неколико регуларних је приказано испод:

Конвексни

Шлефли симбол {п} представља регуларни п-гон.

Наме	Троугао (2-симплекс)	Квадрат (2-ортоплекс)	Пентагон	Хексагон	Хептагон	Октагон
Шлефли	{3}	{4}	{5}	{6}	{7}	{8}
Слика
Име	Нонагон	Декагон	Хендекагон	Додекагон	Тридекагон	Тетрадекагон
Шлефли	{9}	{10}	{11}	{12}	{13}	{14}
Слика
Име	Пентадекагон	Хексадекагон	Хептадекагон	Октадекагон	Енеадекагон	Икосагон	...n-гон
Шлефли	{15}	{16}	{17}	{18}	{19}	{20}	{н}
Слика

Дегенерисани (сферични)

Регуларни хенагон {1} и регуларни дигон {2} могу се сматрати дегенерисаним регуларним полигонима. Они могу да недегенеративно постоје у нееуклидским просторима као на 2-сфери или 2-торусу.

Име	Хенагон	Дигон
Шлефли	{1}	{2}
Слика

Неконвексни

Постоји бесконачно много неконвексних правилних политопа у две димензије, чији се Шлефли симболи састоје од рационалних бројева {n/m}. Они се називају звездасти полигони и имају исте распореде темена као конвексни регуларни полигони.

Генерално, за било који природни број н постоје н-темених, неконвексних регуларно полигоналних звезда са Шлефли симболима {n/m} за свако m такво да је m < n/2 (строго речено {n/m} = {n/(n − m)}) и m и n су узајамно прости бројеви.

Име	Пентаграм	Хептаграми		Октаграм	Енеаграми		Декаграм	...н-аграми
Шлефли	{5/2}	{7/2}	{7/3}	{8/3}	{9/2}	{9/4}	{10/3}	{н/м}
Слика

Круг

Главни чланак: Круг

Хиперсфера у 2 димензије је кружница, која се понекад назива 1-сфера (S¹), јер је то једнодимензиона многострукост. У Еуклидовој равни, она има дужину од 2πr и површина њене унутрашњости је

$A=\pi r^{2}$

где је $r$ полупречник.

Други облици

Главни чланак: Списак дводимензионих геометријских облика

Постоји бесконапно велики број других облика у две димензије, међу којима се посебно истичу конични пресеци: елипса, парабола и хипербола.

У линеарној алгебри

Алтернативни математички начин посматрања дводимензионалног простора налази се у линеарној алгебри, у којој је идеја независности пресудна. Раван има две димензије, јер дужина правоугаоника не зависи од његове ширине. У техничком језику линеарне алгебре, раван је дводимензионална, јер се свака тачка у равнини може описати линеарном комбинацијом два независна вектора.

Скаларни производ, угао, и дужина

Главни чланак: Скаларни производ вектора

Скаларни производ два вектора А = [А₁, А₂] и Б = [Б₁, Б₂] се дефинише као:

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A_{1}B_{1}+A_{2}B_{2}$

Вектор се може приказати као стрела. Његова магнитуда је дужина стреле, и његов правац је правац стреле. Магнитуда вектора А се означава са $\|\mathbf {A} \|$. У овом гледишту, скаларни производ два Еуклидска вектора A и B је дефинисан са

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\|\mathbf {A} \|\,\|\mathbf {B} \|\cos \theta ,$

где је θ угао између A и B.

Скалани производ вектора A са самим собом је

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =\|\mathbf {A} \|^{2},$

што даје

$\|\mathbf {A} \|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }},$

формулу за Еуклидску дужину вектора.

У калкулусу

Градијент

У правоугаоном координатном систему градијент је дат са

$\nabla f={\frac {\partial f}{\partial x}}\mathbf {i} +{\frac {\partial f}{\partial y}}\mathbf {j}$

Линијски интеграли и двоструки интеграли

За неко скаларно поље f: U ⊆ R² → R, линијски интеграл дуж комадно глатке криве C ⊂ U је дефинисан као

$\int \limits _{C}f\,ds=\int _{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.$

где је r: [a, b] → C proizvoljna bijektivna parametrizacija krive C таква да r(a) и r(b) дају крајње тачке од C и $a<b$.

За векторско поље F : U ⊆ R² → R², линијски интеграл дуж комадно глатке криве C ⊂ U, у правцу r, је дефинисан као

$\int \limits _{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.$

где је скаларни производ и r: [a, b] → C bijektivna parametrizacija krive C тако да r(a) и r(b) даје крајње тачке од C.

Двоструки интеграл се односи на интеграл унутар региона D у R² функције $f(x,y),$ и обично се пише као:

$\iint \limits _{D}f(x,y)\,dx\,dy.$

Фундаментална теорема линијских интеграла

Главни чланак: Теорема градијента

Фундаментална теорема линијских интеграла наводи да се линијски интеграл кроз поље градијента може проценити израчунавањем изворног скаларног поља на крајњим тачкама криве.

Нека је $\varphi :U\subseteq \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R}$. Онда је

$\varphi \left(\mathbf {q} \right)-\varphi \left(\mathbf {p} \right)=\int _{\gamma [\mathbf {p} ,\,\mathbf {q} ]}\nabla \varphi (\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .$

Гринова теорема

Главни чланак: Гринова теорема

Нека је C позитивно оријентисана, комадно глатка, једноставно затворена крива у равни, и нека је D регион ограничен са C. Ако су L и M функције од (x, y) дефинисане на отвореном региону који садржи D и имају непрекидне парцијалне деривате у њему, онда је

$\oint _{C}(L\,dx+M\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dx\,dy$

где је пут интеграције дуж C супротан смеру казаљки на сату.

У топологији

У топологији, раван се карактерише као јединствена контрактибилна 2-многострукост.

Њена димензија је карактерисана чињеницом да уклањање тачке из равни оставља простор који је повезан, али не и једноставно повезан.

У теорији графова

У теорији графова, планарни граф је граф који се може уградити у раван, тј. може се нацртати на равни тако да се његове ивице пресецају само на њиховим крајњим тачкама. Другим речима, може се нацртати на такав начин да се његове ивице не укрштају једна са другом. Такав цртеж се назива равнинским графом или планарним уметањем графа. Граф у равни се може дефинисати као планарни граф са пресликавањем сваког чвора на тачку на равнини, и сваке ивице на криву у равни, тако да су крајње тачке сваке криве тачке пресликане са његових крајњих чворова, и све криве су раздвојене осим на њиховим екстремним тачкама.

Види још

• Функција слике

Литература

• Алан Ф. Беардон, Тхе Геометрy оф Дисцрете Гроупс, Спрингер-Верлаг, 1983
• Х. С. M. Цоxетер (1942) Нон-Еуцлидеан Геометрy, цхаптерс 5, 6, & 7: Еллиптиц геометрy ин 1, 2, & 3 дименсионс, Университy оф Торонто Пресс, реиссуед 1998 бy Матхематицал Ассоциатион оф Америца, ISBN 0-88385-522-4.
• Х.С.M. Цоxетер (1969) Интродуцтион то Геометрy, §6.9 Тхе Еллиптиц Плане, пп. 92–95. Јохн Wилеy & Сонс.
• Хазеwинкел Мицхиел, ур. (2001). „Еллиптиц геометрy”. Енцyцлопаедиа оф Матхематицс. Спрингер. ISBN 978-1556080104. 
• Фелиx Клеин (1871) "Он тхе со-цаллед нонеуцлидеан геометрy" Матхематисцхе Аннален 4:573–625, транслатед анд интродуцед ин Јохн Стиллwелл (1996) Соурцес оф Хyперболиц Геометрy, Америцан Матхематицал Социетy ISBN 0-8218-0529-0.
• Boris Odehnal "On isotropic congruences of lines in elliptic three-space"
• Eduard Study (1913) D.H. Delphenich translator, "Foundations and goals of analytical kinematics", page 20.
• Alfred Tarski (1951) A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry. Univ. of California Press.
• Franzén, Torkel (2005). Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse. AK Peters. ISBN 1-56881-238-8. 
• Alfred North Whitehead (1898) Universal Algebra Архивирано 2014-09-03 на сајту Wayback Machine, Боок VI Цхаптер 2: Еллиптиц Геометрy, пп 371–98.

Спољашње везе

Медији везани за чланак Дводимензионални простор на Викимедијиној остави