Istorija algoritama

Istorija algoritama pokriva period od nastanka samog računanja i matematike do danas. Još su se drevne civilizacije koristile algoritmima, kako u projektovanju značajnih stvari, tako i u svakodnevnom životu. Sam naziv je nastao u 12. veku kao sinonim za računski metod. Pojavom računara počinje formalizacija algoritama, a oni postaju osnova softvera. Danas se oni primenjuju u gotovo svakoj oblasti.

Poreklo naziva

U 9. veku naše ere persijski matematičar i astronom Muhamed el Horezmi, često nazivan i ocem algebre, napisao je knjigu O indijskim brojevima, u kojoj je naučnik dao opis niza postupaka i preciznih pravila za razna izračunavanja. Taj rad biva preveden u 12. veku na latinski jezik kao lat. Algoritmi de numero Indorum, gde je reč algoritmi trebalo da predstavlja latinizirano prezime naučnika. Međutim, ta reč nadalje postaje sinonim za računski metod. 

Algoritmi antike

Vavilonska matematika

Vavilonska matematika je na mnogo načina bila naprednija od egipatske matematike. Vavilonci su mogli da izračunaju kvadratni i kubni koren, poznavali su Pitagorinu teoremu 1200 godina pre no što je Pitagora zvanično definisao, znali za broj π, mogli da reše polinome osmog stepena, linearne jednačine, kao i razna izračuvanja za krug. Za razliku od Grka, Vavilonski matematičari su se više fokusirali na algebru, a ne na geometriju.

Vavilonski brojevi

Klinasti brojevi su napisani u kombinaciji sa dva simbola: vertikalnim klinom za ,,1” i ugaonim klinom za ,,10”. Vavilonci su imali šezdesetodecimalni brojevni sistem i koristili su koncept mesta vrednosti da zapišu brojeve veće od 60. Dakle, imali su 59 simbola za brojeve, od 1 do 59, a zatim su te simbole ponavljali u različitim kolonama da označe veće brojeve. Na primer, ,,2” u drugoj koloni sa desne strane znači 2 x 60 = 120, a ,,2” u trećoj koloni sa desne strane predstavlja 2 x 60² = 7200. Brojevi od 1 do 59: 

Slika 1: Vavilonski klinasti brojevi

Da bi koristili šezdesetodecimalnu notaciju u savremenom jeziku, treba razdvajiti kolone sa zapetama, tako da se broj 7267 = 2 x 60² + 1 x 60 + 7 zapisuje kao 2,1,7.  Postoje neki problemi sa ovim sistemom. Prvi je taj da praktično ne postoji način da se odvoje kolone osim da se ubaci praznina u brojevima, primer broj ,,2” izgleda slično kao i ,,61” (1, 1). Još ozbiljniji problem je što nema simbol za nulu da se doda u praznu kolonu, tako da se ,,1” neprimetno razlikuje od ,,60”. Kasnije Vavilonske civilizacije su uvele nulu, tako da su oni bili svesni tog nedostatka.  Vavilonski brojni sistem sa bazom 60 se zadržao i u današnje vreme, jer mi i dalje imamo 60 minuta u satu, 60 sekundi u minuti, 360 stepeni u krugu i 60 minuta u stepenu. Čak je 24 časovni dan nasleđe drevnih Vavilonaca.

Vavilonske numeričke tabele

Zajednički deo Egipćana i Vavilonaca su tabele koje su olakšavale proračune. Tabele su služile za izračunavanje stvari kao što su kvadratni koren sa velikom preciznošću koju su postizali i matematičari u doba Renesanse.

Recipročne tabele

Vavilonci nisu imali poseban algoritam za duge brojeve pri deljenju, već su se koristili činjenicom da je 

$$a/b=a\times {(1/b)}$$

 Oni su koristili recipročne tabele konvertovane u šezdesetodecimalnu notaciju. U notaciji koja je gore navedena, koristili su tačku-zapetu (;) da bi označili decimalno mesto. Onda se broj ½ zapisuje kao (0;30) = 0(1) + 30(60^-1).  60 je praktična baza ovde zato što mnogi brojevi imaju konačnu frakciju u šezdeseto-baznom sistemu, kao što su ½, 1/3, ¼, 1/5, 1/6, 1/10, 1/12, 1/15, 1/20. Međutim, neki brojevi, kao što su 1/7 ili 1/13, imaju beskonačnu frakciju, i za njih je data samo približna vrednost. Šteta je što Vavilonci ove brojeve nisu dalje razmatrali, jer bi došli do periodičnog ponavljanja šezdesetodecimalnih frakcija koje bi mogle da dovedu do otkrivanja beskonačnih nizova.

Tabele kvadrata

Vavilonski način množenja se zasniva na poznavanju kvadrata brojeva. Oni su za jednostavno množenje dva broja koristili formule 

$ab={(a+b)^{2}-a^{2}-b^{2} \over 2}$

$ab={(a+b)^{2}-(a-b)^{2} \over 4}$

Ponekad je bilo jednostavno da se pomnože i saberu brojevi, kao npr. množenje sa 39, gde se množi sa 30, pa sa 9, i rezultati se saberu, tako da nisu uvek koristili gorenavedene formule za množenje.

Kvadratni i kubni koren

Vavilonci su kvadratni koren od dva nalazi sa razlikom od 0.0000006 od prave vrednosti. Takođe su mogli da nađu i kvadratne korene za druge vrednosti. Koristili su dve metode da odrede približnu vrenost kvadratnog korena. 

Prva je koristila aproksimaciju 

${\sqrt {a^{2}+b}}\approx a+{b \over 2a}$

koja je izvedena iz prvih pravila o proširivanju binomne serije.

Druga metoda koristi algoritam koji će kasnije biti prepisan Grcima.

Neka a = a¹ bude početna aprokcimacija. Ako je ${\textstyle a^{1}<{\sqrt {2}}}$ onda $2/a^{1}>{\sqrt {2}}$. Neka bolja aproksimacija bude $a^{2}={(a^{1}+{2 \over a^{1}}) \over 2}$. I ovaj proces se ponavlja sve dok odgovor ne bude precizan koliko želite.

Kvadratne jednačine i n³ + n² tabele

Jedna važna tabela Vavilonske algebre je ta da je vrednost od n³ + n² za celobrojne vrednosti n od 1 do 30. Ove tabele su služile da se reše kubne jednačine oblika 

${\textstyle ax^{3}+bx^{2}=c}$  

Verovatno je da su Vavilonci bili vešti i u rešavanju kvadratnih jednačina, i za njihovo rešavanje su koristili metod sličan našem metodu za rešavanje kvadratnih jednačina. 

Eksponenti i logaritmi

Kod Vavilonaca su pronađeni i neki problemi stepenovanja i logaritmovanja brojeva. Međutim, oni logaritamske tabele nisu koristili u opštim izračunavanjima, već samo u rešavanju nekih specifičnih problema.

Pitagorin trougao

U ovoj tabeli su prepoznatljive Pitagorine trojke, tj. tri celobrojne vrednosti koje zadovoljavaju jednačinu $a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Egipatska matematika

Slika 3: Egipatski brojevi

Drevni Egipćani su verovatno prva civilizacija koja je praktikovala nauku umetnosti. Egipćani su dominirali u medicini i primenjenoj matematici. Postoji veliki broj dokumenata koja opisuju njihova dostignuća u medicini, ali ne postoje dokazi kako su došli do matematičkih zaključaka. Naravno, oni su imali naprednije razumevanje matematike zbog njihovih podviga u inženjerstvu, astronomiji i državnoj upravi, bez koga ti podvizi ne bi bili mogući.

Egipćani su imali decimalni sistem sa 7 različitih simbola. 

Slika 4: Poređenje egipatskih i decimalnih brojeva.

• 1 se predstavlja kao jedna linija
• 10 se crta kao lisice za stoku
• 100 se predstavlja kao namotaj užeta
• 1.000 je crtež lotosa.
• 10.000 je predstavljeno prstom.
• 100.000 je punoglavac ili žaba.
• 1.000.000 je figura boga sa podignutim rukama iznad glave

Konvencija o čitanju i pisanju brojeva je jednostavna; veći broj je uvek napisan ispred manjeg i gde je više od jednog reda brojeva, čitanje počinje od vrha.

Grčka matematika

Tales

Grčki filozof koji se smatra osnivačem Grčke nauke, matematike i filozofije. On je posetio Egipat, a verovatno i Vavilon, i vratio se sa znanjem iz astronomije i geometrije. Uveo je deduktivnu matematiku. Po njemu glasi i Talesova teorema. 

Euklidov algoritam

Grčki geometar koji je napisao Elemente, knjigu o geometriji. Knjiga sadrži ranija znanja o geometriji, i korišćena je vekovima u zapadnoj Evropi kao udžbenik iz geometrije. Euklid je dokazao ono što je opšte poznato kao Euklidova druga teorema: broj prostih brojeva je beskonačan.  On je takođe govorio o tzv. Euklidovom algoritmu, metodi za pronalaženje najvećeg zajedničkog delioca dva broja.

- подели број a са b, остатак је r
- замени a са b 
- замени b са r 
- настави процес док се више бројеви не могу делити.
У овом случају, a је НЗД. 

Nije utvrđena niti godina niti mesto njegovog rođenja, ali ni okolnosti njegove smrti, iako se zna da je živeo i radio u Aleksandriji veći deo svog života.

Arhimedov algoritam

Za Arhimeda se smatra da je najveći matematičar antike. Arhimed je izveo brojne geometrijske dokaze pomoću krutih geometrijskih formalizma od Euklida. On je bio posebno ponosan na svoje otkrića za pronalaženje zapremine sfere i valjka. Isto tako važan je rezultat izračunavanja odnosa obima i prečnika kruga i smeštanje tog odnosa u granice između π = 3 1/7 i 3 10/71, poznatije kao Arhimedov algoritam za izračunavanje približne vrednosti broja π.

Arhimed je došao do gornje i donje granice broja π crtanjem pravilnog šestougla unutar i izvan kruga, i sukcesivno udvostručavao broj strana dok nije došao do 96-ostranog pravilnog poligona. Računajući okvire ovog poligona, dokazao je da je 223/71 < π < 22/7 (odnosno  3.1408 < π < 3.1429). 

Arhimed je takođe bio izvanredan inženjer, formulisao Arhimedov princip potiska i zakon poluge, kao i još dosta drugih otkrića. Arhimed je ubijen od strane rimskog vojnika u Drugom punskom ratu. Pripoveda se da mu je poslednja rečenica bila: Noli turbare circulos meos! (Ne dirajte moje krugove!) 

Eratostenovo sito

Slika 5: Eratostenovo sito za pronalaženje prostih brojeva do 120.

Eratosten je radio kao bibliotekar u velikoj biblioteci u Aleksandriji, i napisao razna dela iz matematike, geografije, filozofije, i astronomije. Takođe je napisao pesmu pod nazivom Hermesgde je opisao osnove astronomije u stihu. Iako je većina Eratostenovih spisa izgubljena, mnogi su očuvani kroz spise naroda.  Među dostignućima je precizno merenje prečnika Zemlje. Pošto je izgubljen originalni rad merenja prečnika Zemlje, detalji Eratostenovih postupka nisu poznati. Eratosten je uveo sistem zemaljskih koordinata, pripremio mapu zvezda koja sadrži 675 zvezda, predložio da prestupna godina bude svake četvrte godine, pokušao da izgradi precizno datiranu istoriju, i razvio Eratostenovo sito, algoritam za pronalaženje prostih brojeva:

1. Напишите све бројеве од 2 до n
2. Почевши од првог броја на списку (двојка) прецртајте са списка све бројеве дељиве са два и упишите да је двојка прост број.
3. Понављајте поступак са следећим непрецртаним бројем m. Дакле, прецртајте све бројеве дељиве са m, а њега самог обележите да је прост.

Kasnija matematička otkrića

Gausov metod eliminacije

U linearnoj algebri, Gausov metod eliminacije je algoritam za rešavanje sistema linearnih jednačina. Ovaj metod je dobio ime po Karlu Fridrihu Gausu, iako je bio poznat kineskom matematičaru Liu Huiu iz 3. veka. Sistem od n linearnih jednačina se rešava izjednačavanjem broja nepoznatih i broja jednačina.  Pseudokod:

за k = 1 ... минимално од (m,n):
  Пронађи k-ту тачку:
   i_max  := argmax (i = k ... m, abs(A[i, k]))
   ако је A[i_max, k] = 0
     грешка "Матрица је јединична!"
   замени редове (k, i_max)
   Уради за све редове испод тачке:
   за i = k + 1 ... m:
     m := A[i, k] / A[k, k]
     Уради за све преостале елементе у првом реду:
     за j = k + 1 ... n:
       A[i, j]  := A[i, j] - A[k, j] * m
     Нађи најмању троугаону матрицу са нулама:
     A[i, k]  := 0

Bramagupta

Bramagupta je rođen u 598. i živeo je na severozapadu Indije dok nije umro 668. Bio je astronom i matematičar. Napisao je metod rešavanja neodređene jednačine   ax + by = c  Bramagupta je razvio metod rešavanja neodređenih jednačina drugog stepena i pravila rešavanja jednostavnih kvadratnih jednačina različitih tipova. 

$$x={{\sqrt {4ac+b^{2}}}-b \over {2a}}$$

Bramagupta je popularizovao važan koncept u matematici: broj nula. 

Muhamed el Horezmi

Muhamed el Horezmi je bio persijski naučnik, matematičar, astronom i astrolog. Rođen je u 780. a umro je oko 840. On se često navodi kao "otac algebre", koja je dobila ime po delu naslova njegove knjige.  Dao je značajan doprinos u oblasti algebre, trigonometrije, i geografije. Sa svojom knjigom o računu sa indijskim brojevima, promovisao je korišćenje indijskog sistema brojeva na Bliskom istoku, a zatim i u Evropi. Ova knjiga je prevedena na latinski u 12. veku pod imenom Algoritmi de numero Indorum, tako da je njegovo ime na latinskom greškom prevedeno kao "Algoritmi" što je indirektno odgovorno za termin algoritam.  Njegove knjige su dale značajan doprinos unapređenju matematike (rešavanje linearnih i kvadratnih jednačina, kao i geometrijske principe za popunjavanje kruga) u Evropi. On je doprineo sa tablicama trigonometrijskih funkcija, preciziranja u geometrijskoj zastupljenosti konusnih preseka, i aspektima računa na dve greške, kao i sa publikacijama o mehaničkim uređajima kao što su sat, astrolab i sunčani časovnik. 

Ibn el Haitam

Abu Ali Hasan Ibn el Haitam je bio jedan od najistaknutijih fizičara, čiji su doprinosi optici i naučne metode izuzetne. Otišao je u Egipat, gde je zatražen da pronađe načine da kontroliše poplavu Nila. Zbog neuspeha u tome, on je glumio ludilo do smrti kalifa Al-Hakima. Takođe je putovao u Španiju i, u tom periodu imao je dovoljno vremena za svoje naučne potrage, koje su uključivale optiku, matematiku, fiziku, medicinu i razvoj naučnih metoda u svakoj oblasti od kojih je ostavio nekoliko izuzetnih knjiga. On je detaljno ispitivao prolazak svetlosti kroz različite materije i otkrio zakone prelamanja. Takođe je sproveo prve eksperimente na disperziji svetlosti u njenim sastavnim bojama. Bavio se teorijom raznih fizičkih fenomena kao što su senke, pomračenja, duge i pojavama fizičke prirode svetlosti. Prvi koji je tačno opisao različite delove oka i dao naučno objašnjenje procesa vizije. Takođe je pokušao da objasni binokularnu viziju, i dao tačno objašnjenje očiglednog povećanja veličine Sunca i Meseca, u blizini horizonta. Zbog ovih obimnih istraživanja optike, smatra se ocem moderne optike. Ibn el Haitam je bio matematičar koji je prvi izveo formulu za zbir četvrtog stepena, a kasnije razvio i algoritam za određivanje opšte formule za zbir bilo kog stepena, što je osnova razvoja integralnog računa. Njegov doprinos matematici i fizici je obiman. U matematici, on je razvio analitičku geometriju kroz uspostavljanje veze između algebre i geometrije. Studirao je mehaniku kretanja tela i bio je prvi koji tvrdi da se telo kreće neprestano osim ako ga spoljna sila ne zaustavi ili promeni pravac kretanja, što je ekvivalentno prvom Njutnovom zakonu kretanja.

Prvi računari

Čarls Bebidž je bio engleski matematičar, analitički filozof, mašinski inženjer, naučnik, izumitelj prvog računara koji je mogao da se programira, kao i profesor matematike na Kembridžu. Zbog uticaja na kasniji razvoj nauke, nazvan je „ocem“ računarstva. Bebidžove mašine bili su prvi mehanički računari. Bebidž je uvideo da mašine mogu da rade bolje i pouzdanije od čoveka. Pokrenuo je izgradnju mašine koja je manje-više odrađivala posao i predlagao je da se računanje može mehanizovati do krajnosti. Iako su Bebidžove mašine bile ogromne njihova struktura je bila slična današnjem računaru. Podaci i programska memorija su bili odvojeni, operacije su bile bazirane na instrukcijama sa čovekove strane. Godine 1822. razvija mehaničku mašinu nazvanu diferencijalna mašina. Bebidžova mašina je bila stvorena da automatski izračunava više matematičkih operacija. Prva diferencijalna mašina imala je 25.000 delova, bila je visoka 8 stopa, i teška 15 tona. Iako je imao dosta sponzora nije uspeo da je završi. 

Ada Bajron je bila među najistaknutijim likovima u istoriji računara.  U 17. godini Ada upoznaje Meri Somervil, ženu koja je prevela Laplasove radove na engleski jezik, a čiji su tekstovi korišćeni na Kembridžu. Iako je gospođa Somervil ohrabrivala Adu u svojim matematičkim studijama, Ada je pokušala da stavi matematiku i tehnologiju u odgovarajući ljudski kontekst. Na večeri kod gospođe Somervil, Ada je čula ideje Čarlsa Bebidža o mašini za računanje, analitičkoj mašini. On je pretpostavio: šta ako bi mašina za računanje mogla ne samo da predvidi, već i da deluje na ta predviđanja. 

Posle neuspelog pokušaja diferencijalne mašine, Bebidž je počeo da radi na projektu drugačije, mnogo složenije mašine, nazvane analitička mašina. Ona nije bila prosta fizička mašina, već kombinacija više dizajna mašina koje je smišljao do kraja života (1871. godine). Glavna razlika između ove dve mašine je ta da je analitička mašina mogla da bude programirana pomoću bušenih kartica, što je bila ideja ispred njegovog vremena. Shvatio je da nije moglo više programa da stane na jednu karticu, a takođe je morala da bude prisutna i osoba koja bi pravila ostale programe. Ova mašina je bila prvi Tjuring-kompletan mehanički računar. Analitička mašina je preteča modernog računara.

Slika 6: Adin dijagram koji predstavlja prvi algoritam

O svijim planovima dok je radio na novoj mašini Bebidž je izveštavao o dešavanjima na seminaru u Torinu u jesen 1841. Italijan, Menabrea, napisao je rezime onoga što Bebidž opisao i objavio članak na francuskom. Ada je prevela taj članak i pokazala ga Bebidžu, a on joj predložio da ona doda svoje sopstvene beleške, za koje se ispostavilo da su tri puta duže od originalnog članka. Pisma između Bebidža i Ade su se nizala i sadržala činjenice i fantaziju. U svom članku, objavljenom u 1843, Ada je nagovestila da bi takva mašina mogla koristiti da komponuje složenu muziku, za prikazivanje grafike, kao i za praktičnu i naučnu primenu. Bila je u pravu.

Ada je predložila Bebidžu pisanje algoritma kojim bi mašina mogla izračunati Bernulijeve brojeve. Ovaj algoritam, sada se smatra prvim računarskim programom. Programski jezik razvijen od strane Ministarstva odbrane SAD je nazvan "Ada" u njenu čast 1979. godine.

Simboli, pravila, formalizacija

Simboli, pravila

Džordž Bul je uveo binarnu algebru, osnovu računara. Bulova algebra je deo matematičke logike - algebarska struktura koja sažima osnovu operacija I, ILI i NE kao i skup teorijskih operacija kao što su unija, presek i komplement. Za razliku od elementarne algebre, gde promenljive za vrednosti imaju brojeve, u Bulovoj algebri vrednosti promenljivih mogu biti samo tačno i netačno (istina i laž), što se obično označava sa 1 i 0, gde 1 predstavlja tačno, a 0 netačno. 
Bul je zapravo ujedinio logiku i izračunavanja zajedničkim simbolima. Tablica istinitosti sa osnovnim operacijama: konjukcijom, disjunkcijom i negacijom je data ispod.

$x$	$y$	$x\wedge y$	$x\vee y$
0	0	0	0
1	0	0	1
0	1	0	1
1	1	1	1

$x$	$\neg x$
0	1
1	0

Fridrih Ludvig Gotlob Frege je nemački matematičar, logičar i filozof. Jedan je od osnivača moderne matematičke logike i analitičke filozofije. Smatra se jednim od najvećih logičara svih vremena. Godine 1879, Frege je konstruisao prvu varijantu predikatskog računa. Ona je veoma slična onoj koja se danas koristi, mada Frege koristi drugačiju notaciju. Fregeovo otkriće kvantifikatora koji vezuju promenljive, smatra se jednim od najvećih otkrića devetnaestog veka. Frege je želeo da pokaže da je celu matematiku moguće svesti na logiku, ali u tome nije uspeo. Razvio je specifičnu filozofiju jezika, koju i danas mnogi filozofi smatraju veoma značajnom.  Jezička formula, lat. lingua characterica, jezik napisan posebnim simbolima, "za čistu misao", koja je slobodna od retoričkih ukrasa ... Izgrađen je od posebnih simbola koji su postavljeni u skladu sa određenim pravilima. Njegov rad su nastavili Alfred Nort Vajthed i Bertrand Rasel sa njihovom knjigom Principi matematike 

Prva formalizacija

Koncept algoritma je formalizovan 1936. sa Alanon Tjuringom i njegovom mašinom i Alonzo Čerčovim lambda računom, što ujedno i čini temelj računarske nauke. 

Alonzo Čerč - njegov je rad od velike važnosti za matematičku logiku, teoriju rekurzije, i za teorijsko računarstvo. Stvorio je lambda-račun 1930. koji je danas neprocenjiv alat za informatičare. Čerč je verovatno najbolje upamćen po Čerčovoj teoremi i Čerčovoj tezi. Čerčova teorema pokazuje undecidabilnost prvog reda logike, pojavom u A notaciji u problemu odlučivanja. Ovo, naravno, nije u suprotnosti sa iskaznim računom koji ima proceduru odlučivanja zasnovanu na istinitosnim tablicama.
Čerčova teza se pojavljuje u nerešivom problemu u osnovnoj teoriji brojeva. U radu definiše pojam efektivne predvidivosti i identifikuje ga sa pojmom rekurzivne funkcije. 
Druga oblast od interesa za Čerča je aksiom teorije skupova. Objavio je formulaciju proste teorije tipova u kojoj je pokušao da da sistem koji je povezan sa Vajthedovim i Raselovim Principima matematike koji su oblikovani da izbegnu paradokse naivne teorije skupova. Čerč zasniva svoju teoriju tipova na svom računu. 
Iako je većina Čerčovih doprinosa usmerena ka matematičkoj logici, on je takođe napisao nekoliko matematičkih radova o drugim temama. Na primer, objavio je primedbe na osnovne teorije diferencijalnih jednačina i generalizaciju Laplasove transformacije. Prvi je istraživao ideje i rezultate u osnovnoj teoriji običnih i parcijalnih diferencijalnih jednačina. Rad obuhvata diskusiju o opštoj Laplasovoj transformaciji koja se prostire na nelinearne parcijalne diferencijalne jednačine.

Tjuring i tjuringova mašina

Alan Matison Tjuring je britanski matematičar i kriptograf koji se smatra ocem modernih računara. Za vreme Drugog svetskog rata je radio u Bletčli Parku i sagradio mašinu pomoću koje su saveznici mogli čitati nemačke poruke šifrirane preko Enigma uređaja koji je imao 15x10¹⁹ kombinacija. 

Posle rata je sagradio prve računare i bavio se problemima veštačke inteligencije. Poznat po ekscentričnom životnom stilu, bio je uhapšen godine 1952. zbog povrede javnog morala i osuđen. Dve godine kasnije je izvršio samoubistvo.

Poznat je i po tome što je definisao test inteligencije za mašine. Cilj ovog testiranja je da se odredi da li je mašina zaista inteligentna, ili je tek simulacija inteligencije. Do sada ni jedna mašina nije uspela da prođe Tjuringov test, dok ga ljudi prolaze.

Tjuringova mašina

Ideja je nastala u prvoj polovini XX veka iz takozvanih “nevažnih“ oblasti matematike, koji su pokušali da daju odgovare da li neke još nedokazane matematičke teoreme imaju dokaze.  Tim povodom je David Hilbert postavio tri pitanja:

1. da li je matematika kompletna
2. da li je matematika konzistentna (dosledna, neprovivurečna)
3. da li je matematika odlučiva (da li postoji algoritam koji pokazuje da je neka formula ispravna)

Matematičar Kurt Gedel je 1930. Godine odgovorio na prva dva pitanja i dokazao da matematika nije kompletna, i da će uvek biti nedokazanih teorema. Ovi dokazi su tridesetih godina izazvali veliko razočarenje među matematičarima.

Alan Tjuring je 1936. godine dao odgovor na treće pitanje na neobičan način. Pošto je uočio određene pravilnosti u svakodnevnom računanju, zamislio je takozvanu Tjuringovu mašinu, koja na traci sa simbolima simulira računanje. Ova zamišljena (apstraktna- imaginarna) mašina nije stvarno napravljena. Služila je da pokaže da li se svaki matematički problem može rešiti korišćenjem algoritma. Ubrzo zatim je ovu mašinu unapredio i stvorio Univerzalnu Tjuringovu mašinu, pomoću koje je dao negativan odgovor na treće Hilbertovo pitanje. Na ovaj način su postavljene osnove softvera.

Veštačka inteligencija

Za razliku od običnih algoritama, u kojima računar prati naredbe koje su mu zadate, korak po korak, neki računarski algoritmi su dizajnirani da omoguće računaru da uče sami (mašinsko učenje). Upotreba mašinskog učenja uključuje razumevanje podataka i prepoznavanje oblika.  Veštačka inteligencija se svodi na upotrebu algoritama za prepoznavanje i obradu različitih obrazaca i njihovo predstavljanje u obliku pogodnom za ljude. Kao i matematičke jednačine, algoritmi nisu ni dobri ni loši. Postoje samo ljudi sa dobrim i lošim namerama koji koriste algoritme. Kako se tehnologija razvija, pojaviće se dosta ,, grešaka", ali je važno zapamtiti da su algoritmi samo alati. Ne treba kriviti alate.  Algoritmi čine sisteme boljim, ali bez male upotrebe zdravog razuma u jednačini, oni mogu proizvesti neke prilično bizarne rezultate. 

Džon Makarti je istaknuti informatičar koji je dobio Tjuringovu nagradu 1971. zbog velikih doprinosa u oblasti veštačke inteligencije. U stvari, on je odgovoran za sam termin "veštačka inteligencija". Makarti je napisao Lisp programski jezik.  Godine 1961, prvi je javno predlagao da računarska tehnologija vremenskog deljenja može da dovede do budućnosti u kojoj se računarska snaga, pa čak i određene aplikacije, mogu biti prodate putem namenskog poslovnog modela (kao voda ili električna energija). Ova ideja računarske ili informacijske korisnosti je bila veoma popularna krajem 1960-ih, ali polako bledi od sredine 1970-tih kada je postalo jasno da tadašnji hardver, softver i telekomunikacione tehnologije nisu bili spremni. Međutim, 2000. godine, ideja se ponovo javlja u novim formama. 

Dr Taher Elgamal je američko-egipatski kriptograf. Godine 1985, Elgamal objavio rad pod naslovom Javni ključ kriptosistema i šema potpisa bazirana na diskretnim logaritmima u kojem je predložio dizajn Elgamalovih diskretnih logaritma kriptosistema. Ova šema je postala osnova za algoritam za digitalno potpisivanje (DSA) koga je usvojio Nacionalni institut za standarde i tehnologiju (NIST) kao standard za digitalni potpis (DSS). On je takođe učestvovao u protokolu za plaćanje kreditnim karticama "SET" – sigurnosne elektronske transakcije, ali i u drugim brojnim poslovima vezanim za internet plaćanja.

Literatura

• Roller, Duane W. (2010). Eratosthenes' Geography. New Jersey: Princeton University Press.