Pređi na sadržaj

Matematika

S Vikipedije, slobodne enciklopedije
Euklid (držeći šubler), grčki matematičar, 3. vek p. n. e., po zamisli Rafaela na slici Atenska škola.[1][2]

Matematika (grč. μαθηματική što znači učenje) je formalna i egzaktna nauka, koja je nastala izučavanjem figura i računanjem s brojevima.[3][4]

Iako ne postoji opšteprihvaćena definicija matematike, pod matematikom se u širem smislu podrazumeva da je ona nauka o količini (aritmetika), strukturi (algebra), prostoru (geometrija) i promeni (analiza).[5]

Matematika je nauka koja izučava aksiomatski definisane apstraktne strukture koristeći logiku.[6] Izučavane strukture najčešće potiču iz drugih prirodnih nauka, najčešće fizike, ali neke od struktura su definisane i izučavane radi internih razloga.[7]

Istorijski, matematika se razvila iz potrebe da se obavljanja proračuna u trgovini, vršenje merenja zemljišta i predviđanje astronomskih događaja. Ove tri početne primene matematike se mogu dovesti u vezu sa grubom podelom matematike na izučavanje strukture, prostora i promena.[8][9]

Izučavanje strukture počinje sa brojevima, u početku sa prirodnim brojevima i celim brojevima.[4] Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva celih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rešavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja između ostalog izučava prstenove i polja, strukture koje generalizuju osobine koje poseduju brojevi.[10] Fizički važan koncept vektora se izučava u linearnoj algebri.

Izučavanje prostora je počelo sa geometrijom, prvo Euklidovom geometrijom i trigonometrijom u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, ali se kasnije proširila na neeuklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije, i predstavlja vezu u u izučavanju prostora i strukture. Topologija povezuje izučavanje prostora i izmjene fokusirajući se na koncept kontinuiteta.

Razumevanje i opisivanje izmena merljivih promenljivih je glavna karakteristika prirodnih nauka, i diferencijalni račun je razvijen u te svrhe.[11] Centralni koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrednosti i količine izmene, i metodi razvijeni pri tome, se izučavaju u diferencijalnim jednačinama. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet analize. Zbog matematskih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je skoncentrisana na n-dimenzionalne prostore funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.[12]

Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Važna oblast primenjene matematike je verovatnoća i statistika koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanjem a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.

Oblasti proučavanja

[uredi | uredi izvor]

Nauka o brojevima

[uredi | uredi izvor]

Matematika se bavi proučavanjem brojeva. Njihovim proučavanjem je započeto i proučavanje struktura. Od svih skupova brojeva, najpre su formirani i proučavani prirodni brojevi, a zatim celi brojevi. Formirani su realni brojevi, kao brojeve koji predstavljaju kontinualne veličine. Iz matematičkih razloga uveden je koncept kompleksnih brojeva.

Prirodni brojevi Celi brojevi Racionalni brojevi Realni brojevi Kompleksni brojevi

Algebra

[uredi | uredi izvor]

Matematika se bavi proučavanjem struktura (matematičkih struktura), koje spadaju u granu matematike - algebru.

Algebra obuhvata:

kombinatorika Teorija brojeva Teorija grupa Teorija grafova Teorija nizova Algebra

Izučavanje struktura je započeto proučavanjem brojeva.[traži se izvor] Na početku su formirani i proučavani prirodni brojevi i celi brojevi. Osnovna pravila za aritmetičke operacije su definisana u osnovnoj algebri a dodatna svojstva celih brojeva se izučavaju u teoriji brojeva. Izučavanje metoda za rešavanje jednačina je dovelo do razvoja apstraktne algebre koja prvenstveno izučava prstenove i polja, tj. strukture koje generalizuju osobine koje poseduju brojevi. Važan fizički koncept vektora izučava se u linearnoj algebri. Radi pojašnjavanja i izučavanja osnova matematike, razvijene su oblasti teorija skupova, matematička logika i teorija modela.

Geometrija

[uredi | uredi izvor]

Matematika se bavi proučavanjem prostora, koji spada u granu matematike - geometriju.

Geometrija obuhvata:

Geometrija Trigonometrija Diferencijalna geometrija Topologija Fraktalna geometrija Teorija mera

Izučavanje prostora je započelo sa geometrijom. Najpre je nastala Euklidska geometrija i trigonometrija u pojmljivom trodimenzionalnom prostoru, koja se kasnije proširila na neeuklidske geometrije koje imaju centralnu ulogu u opštoj relativnosti. Moderna polja geometrije su diferencijalna geometrija i algebarska geometrija. Teorija grupa izučava koncept simetrije. Topologija izučava strukture u prostoru i njihove izmene pri neprekidnim preslikavanjima.[13]

Analiza

[uredi | uredi izvor]

Matematika se bavi proučavanjem beskonačno malih promena, koje spadaju u granu matematike - matematičku analizu.

Analiza obuhvata[14]:

Analiza Vektorska analiza Diferencijalna analiza Dinamički sistemi Teorija haosa Kompleksna analiza

Teorija diferencijalnog računa je razvijena iz potreba prirodnih nauka za razumevanjem i opisivanjem promena koje se izvrše kod merljivih varijabli. Centralni koncept kojim se opisuje promena varijable je funkcija. Mnogi prirodni problemi su vodili uspostavljanju veze između vrednosti i količine izmene. Metode koje su razvijene za opisivanje i proučavanje ovakvih problema se izučavaju u teoriji diferencijalnih jednačina. Brojevi koji predstavljaju kontinualne veličine su realni brojevi, i detaljno izučavanje njihovih svojstava i funkcija je predmet matematičke analize.[15] Zbog matematičkih razloga, uveden je koncept kompleksnih brojeva koji se izučavaju u kompleksnoj analizi. Funkcionalna analiza je usmerena na analiziranje n-dimenzionalnih prostora funkcija postavljajući time osnovu za izučavanje kvantne mehanike.

Primenjena matematika

[uredi | uredi izvor]

Primenjena matematika koristi saznanja iz matematike kako bi došla do rešenja stvarnih problema.

Primenjena matematika obuhvata:

Matematička fizika Dinamika fluida Numerička analiza Optimizacija Teorija verovatnoće Statistika Kriptografija
Finansijska matematika Teorija igara Matematička biologija Matematička hemija Matematička ekonomija Teorija kontrole

Važna oblast primenjene matematike su verovatnoća i statistika koje se bave izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička analiza izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za oblasti matematike koje se koriste u računarskim naukama.[16]

Istorija matematike

[uredi | uredi izvor]

Istorija matematike se smatra stalno rastućom serijom apstrakcija. Prva apstrakcija, koju dele mnoge životinje,[17] su verovatno bili brojevi: realizacija da kolekcije od dve jabuke i kolekcija od dve pomorandže (na primer) ima nešto zajedničko, naime kvantitet njihovih članova.

Grčki matematičar Pitagora (c. 570 – c. 495. p. n. e.), koji je otkrio Pitagorinu teoremu
Majanski brojeve

Kao što to potvrđuju štapići za brojanje nađenih na kostima, osim sposobnosti da brojanja fizičkih objekata, moguće je da su praistorijski ljudi isto tako mogli da broje apstraktne kvantitete, poput vremena – dana, sezona, godina.[18]

Dokaz za kompleksniju matematiku se ne javljaju do oko 3000. p. n. e., kad Vavilonci i Egipćani počinju da koriste aritmetiku, algebru i geometriju za oporezivanje i druge finansijske proračune, za gradnju i konstrukciju, i za astronomiju.[19] Najranija upotreba matematike je bila u oblastima trgovine, merenja zemljišta, slikanja i tkalačkim obrascima i zapisivanju vremena.

U vavilonskoj matematici elementarna aritmetika (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) su se najranije pojavili sudeći po arheološkim rekordima. Računanje predatira pisanje. Brojevni sistemi su bili mnogobrojni i raznovrsni. Prve poznate zapisane brojeve su ostavili Egipćani u tekstovima tokom Srednjeg kraljevstva kao što je Ahmesov papirus.[20]

Između 600 i 300. p. n. e. Stari Grci su počeli sistematsko izučavanje matematike.[8]

Persijski matematičar el Horezmi ( c. 780–c. 850 ), izumitelj algebre.

Tokom Zlatnog doba islama, a posebno tokom 9. i 10. veka, matematičari su proizveli mnoštvo važnih inovacija gradeći na temeljima grčke matematike: najveći deo tih otkrića su doprinosi persijskih matematičara kao što su el Horezmi, Omar Hajam i Šaraf el Din el Tusi.

Sve do kraja 16. veka glavne grane matematike bile su geometrija, i aritmetika. U 16. veku počela se razvijati algebra, a u 17. veku stvaranje diferencijalnog i integralnog računa označilo je početak intenzivnog razvoja analize, koji je svoj vrhunac postigao u 18. veku. Nastale Teorije diferencijalnih jednačina postale su važno sredstvo u ispitivanju zakona prirode u klasičnoj i nebeskoj mehanici.

Pojavom neeuklidskih geometrija, matematičke logike i teorije skupova u 19. veku započeta je kritička revizija do tada izgrađenih matematičkih teorija, što je bitno uticalo na karakter, metode i načine razvoja matematike 20. veka. U 20. veku, postojeće oblasti su se proširile, a razvijene su i nove oblasti, kao što su teorija verovatnoće, statistika, topologija, apstraktna algebra i druge.

Primena matematike

[uredi | uredi izvor]

Danas se matematika jako razvila i ima primene u mnogo grana, kako prirodnih, tako i društvenih nauka. Važna grana primenjene matematike je Statistika (stohastička matematika), koja se bavi izučavanjem i predviđanjem slučajnosti i slučajnih pojava. Numerička matematika izučava numeričke metode izračunavanja, a diskretna matematika je zajedničko ime za više grana matematike koja se velikim delom koriste kao alati u računarskim naukama. Razvijena je i matematička teorija računarstva, kao i niz drugih interdisciplinarnih grana.

Matematika u nastavi

[uredi | uredi izvor]

Osnovne koncepcije nastave matematike

[uredi | uredi izvor]
mađarski matematičar, Đerđ Poja

Prema Đ. Poji, velikom metodičaru, učenje i nastava matematike zasnivaju se na sledećim osnovnim koncepcijama:

  • aktivno učenje,
  • motivacija i
  • uzastopne faze.

Poja daje paralelu između nastave matematike i trgovine. Nastavnik „prodaje nauku”. Učenik je manje ili više zainteresovani „kupac”. Ako je prodavac u sukobu sa kupcima i potencijalni kupci mogu odustati od trgovine. Među najznačajnijim zadacima prodavca smatra se da zainteresuje kupce za svoju robu. Dobri prodavci postoje zbog svojih kupaca uvažavajući ih i po njima, kupac je uvek u pravu.[21]

Postulati metodike nastave matematike

[uredi | uredi izvor]
  1. Voditi učenika kroz kontinuiran niz adekvatnih aktivnosti tj.onih aktivnosti koje ne skreću učenika sa razvojnog puta njegove inteligencije.
  2. Dopustiti učeniku da sam izgrađuje pojmove, da sam otkriva činjenice i pravila, da uopšte sam rešava svaki problem, dakle da stvaralački radi.
  3. Matematičko obrazovanje je dužno da ubrzava, da intenzivira učenikov mentalni razvoj, da maksimalno skraćuje i proširuje spontani razvojni put njegove inteligencije.

Misaoni postupci

[uredi | uredi izvor]

Za razumevanje i rešavanje problema u matematici neophodno je da učenik, osim učenja sadržaja matematike, ovlada osnovnim logičkim zakonima i formama mišljenja. Sa navedenim uslovima može se odgovoriti na pitanja: da li se nešto može i kako će se primeniti? Moramo vršiti određena istraživanja da bismo pronašli pravi put ka rešenju služeći se, pre svega, misaonim postupcima i metodama koje nas usmeravaju u istraživanju i omogućuju da brže pronađemo put do rešenja.

  1. Analiza – raščlanjavanje objekta istraživanja na sastavne odredbe.
  2. Sinteza – objedinjavanje relevantnih odredaba u novu celinu.
  3. Apstrakcija – izdvajanje bitnih karakteristika konkretnih pojava i stvaranje novog idealizovanog sistema.
  4. Konkretizacija – primena idealizovanog sistema na konkretne pojave.
  5. Upoređivanje ili komparacija –otkrivanje sličnosti i razlike između pojava.
  6. Analogija – sličnost sadržaja i metoda koje omogućavaju transfer saznanja.
  7. Generalizacija ili uopštavanje – misaona operacija kojom se izvesne odredbe pripisuju svim objektima nekog skupa.
  8. Specijalizacija – primena zajedničkih odredbi elemenata skupa na njegov pravi podskup.
  9. Intuicija – saznanje do koga se nije došlo putem iskustva ili razmišljanjem već naslućivanjem.[22]

Matematika i ostale nauke

[uredi | uredi izvor]

Takođe se prilično često pokazalo da razvoj matematike ne mora nužno pratiti razvoj fizike ili neke druge "konkretnije" znanosti, to jest matematika se može razvijati „sama za sebe“", a primjena onoga što se dobije već se nađe tokom godina razvoja drugih nauka (primeri za to nisu odviše jednostavni, ali, recimo, Rimanov prostor je jedan primer za to - razvio se sam po sebi, a primenu je našao tek u teoriji relativnosti)

Matematika u citatima

[uredi | uredi izvor]
  • "Ne bi li se muzika mogla opisati kao matematika osećaja, a matematika kao muzika razuma? Njihov duh je isti. Tako muzičar oseća matematiku, a matematičar misli muziku. Jedna će pojačati osećaj drugoj kad zasja ljudski um podignut u savršenstvo.", Vladimir Devide
  • "Matematika nije nipošto dosadna ili bez mašte, već naprotiv, poput plemenite djevojke koja uzvraća ljubav onom ko je voli i razume", Vladimir Devide
  • "Svim ljudima nisu sve stvari potrebne, ali je račun ne samo svima nego i svakome jako potreban. Ko računati ili barem brojiti ne zna, mora se izbrisati iz broja svih ljudi, inače nema prijateljstva među trgovcima, ni ljubavi među susedima, ni sluge u opštini, niti pravednost u pravdi stalno stanovati može!", Platon
  • "Matematika je simbol naše intelektualne snage i jamstva da će se ljudski um uvek boriti za uzvišene ciljeve", Danilo Blanuša
  • "Znanje kojem teži geometrija je znanje o večnome.", Platon

Vidi još

[uredi | uredi izvor]

Reference

[uredi | uredi izvor]
  1. ^ Portret ili opis Euklidovog fizičkog izgleda napravljen tokom njegovog života nije sačuvan. Stoga Euklidov prikaz u umetničkim radovima zavisi od umetnikove mašte.
  2. ^ „Claire Voisin, Artist of the Abstract”. .cnrs.fr. Pristupljeno 13. 10. 2013. 
  3. ^ „mathematic”. Online Etymology Dictionary. 
  4. ^ a b „mathematics, n.. Oxford English Dictionary. Oxford University Press. 2012. Pristupljeno 16. 6. 2012. „The science of space, number, quantity, and arrangement, whose methods involve logical reasoning and usually the use of symbolic notation, and which includes geometry, arithmetic, algebra, and analysis. 
  5. ^ „Kratka istorija matematike, Elementarijum, Naučnopopularni portal Centra za promociju nauke”. Pristupljeno 2. 11. 2013. 
  6. ^ Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (1998). „Abstract representations of numbers in the animal and human brain”. Trends in Neuroscience. 21 (8): 355—361. ISSN 0166-2236. PMID 9720604. doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6. 
  7. ^ LaTorre et al. 2011, str. 2
  8. ^ a b Heath 1981.
  9. ^ Franklin 2009, str. 104
  10. ^ Kneebone 1963
  11. ^ Devlin 1996
  12. ^ Lynn Steen (April 29, 1988). The Science of Patterns Science, 240: 611–616. And summarized at „Association for Supervision and Curriculum Development”. Arhivirano iz originala 28. 10. 2010. g. , www.ascd.org.
  13. ^ „Wolfram MathWord, O geometriji”. Pristupljeno 7. 11. 2013. 
  14. ^ „Wolfram MathWord, Termin i oblasti proučavanja analize”. Pristupljeno 7. 11. 2013. 
  15. ^ „MIT Open Course, Područje proučavanja Osnovne analize”. Pristupljeno 7. 11. 2013. 
  16. ^ „Applied Mathematics, University of Washington, O primenjenoj matematici”. Pristupljeno 7. 11. 2013. 
  17. ^ Dehaene, Stanislas; Dehaene-Lambertz, Ghislaine; Cohen, Laurent (1998). „Abstract representations of numbers in the animal and human brain”. Trends in Neuroscience. 21 (8): 355—61. PMID 9720604. doi:10.1016/S0166-2236(98)01263-6. 
  18. ^ See, for example, Raymond L. Wilder, Evolution of Mathematical Concepts; an Elementary Study, passim
  19. ^ Kline 1990, Chapter 1.
  20. ^ Gillings 1972
  21. ^ Polya, George. Mathematik und plausibles Schliessen (1988 izd.). Basel: Birkhäuser. 
  22. ^ Pinter, Janoš; Petrović, Nenad; Sotirović, Velimir; Lipovac, Dušan. Opšta metodika nastave matematike (1996 izd.). Sombor: Učiteljski fakultet Sombor. 

Literatura

[uredi | uredi izvor]

Spoljašnje veze

[uredi | uredi izvor]