Pi

Odmotavanje obima točka prečnika 1 traje dužinom puta

π

Pi ili $π$ je matematička konstanta, danas široko primenjivana u matematici i fizici. Njena približna vrednost je 3,14159, a definiše se kao odnos obima i prečnika kruga ili kao odnos površina kruga i kvadrata nad njegovim poluprečnikom. $π$ je takođe poznato i kao Arhimedova konstanta^[1] (ne treba ga mešati sa Arhimedovim brojem) ili Ludolfov broj^[2]. U praksi se beleži malim grčkim slovom $π$ a u srpskom jeziku je pravilno pisati i pi. Oznaka za broj $π$ potiče od grčke reči perimetar (περίμετρος). U matematiku ju je uveo Vilijam Džouns 1707. godine, a popularizovao ju je Leonard Ojler 1737.

Broj $π$ zaokružena na 64 decimalna mesta je:

π

≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923^[3]

Broj $π$ ima beskonačno mnogo decimala.

$π$ je iracionalan broj, što znači da se njegova vrednost ne može izraziti preko razlomaka. Zbog toga njegov decimalni zapis nema kraja i nije periodičan. $π$ je takođe transcendentan broj, što znači da ga nije moguće izraziti korišćenjem konačnog broja celih brojeva uz četiri osnovne računske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) i korenovanja. Tokom istorije matematike vršeno je mnogo pokušaja da se što preciznije izračuna vrednost broja $π$ i razume njegova priroda.

Osobine

Definicija

U Euklidskoj geometriji, broj $π$ se definiše kao odnos obima i prečnika kruga:

\pi ={\frac {O}{d}}={\frac {2r\pi }{2r}}=\pi

$π$ je uvek isti, bez obzira na veličinu kruga.

$π$ se može još definisati i kao površina kruga poluprečnika 1, obim kruga čiji je prečnik 1 ili odnosom površine kruga (P) i kvadrata nad njegovim poluprečnikom:

\pi ={\frac {P}{r^{2}}}

Ove definicije zavise od posledica Euklidske geometrije, kao što je činjenica da su svi krugovi slični. Ovo može biti problem u oblastima matematike koje ne uključuju geometriju. Zbog ovog razloga matematičari često radije definišu $π$ bez referenci na geometriju, birajući umesto toga jednu od analitičkih osobina kao definiciju. Čest izbor je da se $π$ definiše kao najmanji pozitivan broj čiji je sinus jednak nuli ili dvostruka vrednost najmanjeg pozitivnog broja čiji je kosinus jednak nuli.^[4]

Iracionalnost, transcendentnost i posledice

$π$ je iracionalan broj.^[5] to jest, ne može se predstaviti kao odnos dva cela broja. To znači da se broj $π$ predstavlja beskonačnim nizom cifara, i to tako da nema periodičnosti. Ovu njegovu osobinu je dokazao Johan Hajnrih Lambert 1761. godine^[6] Više od toga, $π$ je i transcendentan broj, što je dokazao Ferdinand fon Lindeman 1882. godine^[7] Ovo znači da ne postoji polinom sa racionalnim koeficijentima čiji bi koren bio broj $π$ .

Važna posledica transcendentnosti ovog broja je činjenica da ga nije moguće izraziti korišćenjem konačnog broja celih brojeva uz četiri osnovne računske operacije (sabiranje, oduzimanje, množenje i deljenje) i korenovanja tj. broj nije konstruktibilan. Ovo je takođe dokaz da nije moguće izvršiti kvadraturu kruga tj. nemoguće je lenjirom i šestarom konstruisati kvadrat čija bi površina bila jednaka površini datog kruga.^[8] Razlog je taj da su, polazeći od jediničnog kruga i tačke (1,0) na njemu, koordinate svih tačaka koje se mogu konstruisati korišćenjem lenjira i šestara konstruktibilni brojevi.

Numerička vrednost

Numerička vrednost $π$ zaokrugljena na 64 decimalna mesta je:

π

≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 5923

Iako je vrednost broja $π$ izračunata do više od bilion decimala, osnovne primene, kao što je računanje obima kruga, retko zahtevaju više od nekoliko decimala. Na primer, vrednost zaokružena na 11 decimala će približno tačno izračunati obim kruga veličine Zemlje milimetarskom preciznošću, a vrednost zaokružena na 39 decimalnih mesta je dovoljna da se izračuna obim bilo kog kruga koji se može naći u vidljivom svemiru sa preciznošću jednakoj veličini atoma vodonika.^[9]

U staroj Grčkoj je bilo poznato da je $π$ približno jednako dvadeset dve sedmine ( $π$ ≈22/7).

Pošto je $π$ iracionalan broj, njegov decimalni zapis je beskonačan i neperiodičan. Ovaj beskonačni niz cifara je opčinjavao i matematičare i laike, a tokom poslednjih nekoliko vekova uloženo je mnogo truda u računanju što više decimala i ispitivanju osobina broja.

Formule sa pi

Geometrija

$π$ se pojavljuje u formulama koje se tiču geometrijskih slika i tela koje sadrže oblik kruga ili elipse. U njih spadaju valjak, kupa i lopta.

Geometrijski oblik	Formula
Obim kruga poluprečnika r odnosno prečnika d	$O=\pi d=2\pi r\,\!$
Površina kruga poluprečnika r	$P=\pi r^{2}\,\!$
Površina elipse sa poluosama a i b	$P=\pi ab\,\!$
Zapremina lopte poluprečnika r	$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}\,\!$
Površina lopte poluprečnika r	$P=4\pi r^{2}\,\!$
Zapremina valjka visine H i poluprečnika r	$V=\pi r^{2}H\,\!$
Površina valjka visine H i poluprečnika r	$P=2(\pi r^{2})+(2\pi r)H=2\pi r(r+H)\,\!$
Zapremina kupe visine H i poluprečnika r	$V={\frac {1}{3}}\pi r^{2}H\,\!$
Površina kupe visine H i poluprečnika r	$P=\pi r{\sqrt {r^{2}+H^{2}}}+\pi r^{2}=\pi r(r+{\sqrt {r^{2}+H^{2}}})\,\!$

Takođe, ugao od 180 stepeni iznosi $π$ radijana.

Analiza

U matematičkoj analizi se broj $π$ izražava i koristi na dosta različitih načina. Od oblika beskonačnih redova i proizvoda do integrala i specijalnih funkcija.

Fransoa Vijet, 1593:

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}{\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\ldots

Lajbnicova formula:^[10]

{\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}

Ovaj često navođeni beskonačni red najčešće se piše u gornjem obliku, dok je tehnički ispravan zapis:

\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)={\frac {\pi }{4}}

Valisov proizvod:

{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

Integral verovatnoće, poznat iz matematičke analize (vidi takođe: funkcija greške i normalna raspodela):

\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}

Bazelski problem, koji je prvi rešio Ojler (vidi takođe i Rimanova zeta-funkcija):

\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}

\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}

i, uopšte,

\zeta (2n)

je racionalni umnožak broja

\pi ^{2n}

za svako prirodno n.

Vrednost Gama-funkcije u tački 1/2:

\Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}

Stirlingova aproksimaciona formula:

n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}

Ojlerov identitet (kojeg je Ričard Fajnman nazvao „najboljom formulom u matematici“):

e^{i\pi }+1=0\;

Osobina Ojlerove φ-funkcije:

\sum _{k=0}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}

Površina jedne četvrtine jediničnog kruga:

\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi  \over 4}

Kompleksna analiza

Specijalan slučaj Ojlerove formule za $e^{ix}\,$ :

e^{i\pi }\,\!+1=0

Osnovni slučaj Teoreme o ostacima:

\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i

Verižni razlomak

$π$ ima puno predstavljanja u obliku verižnih razlomaka, kao što je na primer:

{\frac {4}{\pi }}=1+{\frac {1}{3+{\frac {4}{5+{\frac {9}{7+{\frac {16}{9+{\frac {25}{11+{\frac {36}{13+...}}}}}}}}}}}}

Teorija brojeva

Neki rezultati iz teorije brojeva:

Verovatnoća da su dva slučajno izabrana cela broja uzajamno prosta je 6/ $π$ ².
Verovatnoća da je slučajno izabran ceo broj beskvadratan je 6/ $π$ ².
U proseku, broj načina da se dati prirodan broj napiše kao zbir dva savršena kvadrata (redosled sabiraka je bitan) je $π$ /4.

Ovde, „verovatnoća“, „prosek“ i „nasumičan“ su uzeti u smislu granične vrednosti; tj. posmatra se verovatnoća odgovarajućeg događaja u skupu brojeva $\{1,2,...N\}$ , a zatim uzima granična vrednost te verovatnoće kada $N\rightarrow \infty$ (N je „jako veliko“ ili „teži beskonačnosti“).

Dinamički sistemi/Ergodička teorija

U teoriji dinamičkih sistema (vidi takođe ergodička teorija), za skoro svako realno x₀ u intervalu [0,1],

\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {x_{i}}}={\frac {2}{\pi }}\,,

gde su x_i iterirane vrednosti logističkog preslikavanja za r = 4.

Fizika

U fizici, pojava broja π u formulama je najčešće stvar dogovora i normalizacije. Na primer, korišćenjem uprošćene Plankove konstante $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ može se izbeći pisanje broja π eksplicitno u velikom broju formula u kvantnoj mehanici. Zapravo, uprošćena varijanta je i bazičnija, a prisustvo faktora 1/2 $π$ u formulama koje koriste h može se smatrati naprosto uslovljenom uobičajenom definicijom Plankove konstante.

Hajzenbergov princip neodređenosti:^{[traži se izvor]}

\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}

Ajnštajnova jednačina polja opšte teorije relativnosti:^[11]

R_{ik}-{g_{ik}R \over 2}+\Lambda g_{ik}={8\pi G \over c^{4}}T_{ik}

Kulonov zakon za električnu silu:^[12]

F={\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}

Magnetna permeabilnost slobodnog prostora:^[13]

\mu _{0}=4\pi \times 10^{-7}\,\mathrm {H/m} \,

U fizici se najčešće zaokrugljuje na dve decimale (3,14).

Verovatnoća i statistika

U verovatnoći i statistici postoji puno raspodela, čiji analitički izrazi sadrže π, uključujući:

Gustina raspodele verovatnoće za normalnu raspodelu sa matematičkim očekivanjem μ i standardnom devijacijom σ:^[14]

f(x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,e^{-(x-\mu )^{2}/(2\sigma ^{2})}

Gustina raspodele verovatnoće za (standardnu) Košijevu raspodelu:^[15]

f(x)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}

Treba primetiti da se, kako je $\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dx=1$ za svaku funkciju gustine raspodele verovatnoće f(x), pomoću gornjih formula može dobiti još integralnih formula za $π$ .

Zanimljiva empirijska aproksimacija broja $π$ zasnovana je na problemu Bufonove igle. Posmatrajmo eksperiment u kojem se igla dužine L baca na ravan na kojoj su označene dve paralelne prave na međusobnom rastojanju S (gde je S>L). Ako se igla na slučajan način baci veliki broj (n) puta, od kojih se x puta zaustavi tako da seče jednu od pravih, onda približnu vrednost broja $π$ možemo dobiti korišćenjem formule

\pi \approx {\frac {2nL}{xS}}

Istorija

Simbol „ $π$ “ za Arhimedovu konstantu je prvi put uveo 1706. godine matematičar Vilijam Džouns kada je objavio „Novi uvod u matematiku“ (engl. A New Introduction to Mathematics), mada je isti simbol još ranije korišćen da naznači obim kruga.

Ova oznaka postala je standardna nakon što ju je usvojio Leonard Ojler. U oba slučaja, $π$ je prvo slovo reči περιμετρος (perimetros), što znači „meriti okolo“^[16] na grčkom jeziku.

Evo kratke hronologije broja $π$ :^[17]

Vreme	Osoba	Vrednost π (svetski rekordi su podebljani)
20. vek p. n. e.	Vavilonci	25/8 = 3,125
20. vek p. n. e.	Egipatski matematički papirus (Rajndov papirus)	(16/9)² = 3,160493...
12. vek p. n. e.	Kinezi	3
sredina 6. veka p. n. e.	1 Car. 7:23	3
434. p. n. e.	Anaksagora je pokušao da kvadrira krug lenjirom i šestarom
3. vek p. n. e.	Arhimed	223/71 < $π$ < 22/7 (3,140845... < $π$ < 3,142857...)
20. p. n. e.	Vitruvije	25/8 = 3,125
130.	Čang Hong	√10 = 3,162277...
150.	Ptolemej	377/120 = 3,141666...
250.	Vang Fau	142/45 = 3,155555...
263.	Liu Hui	3,14159
480.	Zu Čongži	3,1415926 < π < 3,1415927
499.	Arjabhata	62832/20000 = 3,1416
598.	Bramagupta	√10 = 3,162277...
800.	Muhamed Al Horezmi	3,1416
12. vek	Baskara	3,14156
1220.	Fibonači	3,141818
1400.	Madava	3,14159265359
Svi podaci od 1424. su dati u brojevima tačnih decimalnih mesta (dm).
1424.	Džamšid Masud Al Kaši	16 dm
1573.	Valentus Oto	6 dm
1593.	Fransoa Vijet	9 dm
1593.	Adrijen van Romen	15 dm
1596.	Ludolf van Cojlen	20 dm
1615.	Ludolf van Cojlen	32 dm
1621.	Vilebrord Snel (Snelije), Ludolfov učenik	35 dm
1665.	Isak Njutn	16 dm
1699.	Abraham Šarp	71 dm
1700.	Seki Kova	10 dm
1706.	Džon Mejčin	100 dm
1706.	Vilijam Džouns uveo grčko slovo ' $π$ '
1730.	Kamata	25 dm
1719.	De Lanji izračunao 127 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna	112 dm
1723.	Takebe	41 dm
1734.	Leonard Ojler usvojio grčko slovo ' $π$ ' i obezbedio njegovu popularnost
1739.	Macunaga	50 dm
1761.	Johan Hajnrih Lambert dokazao da je $π$ iracionalan broj
1775.	Ojler ukazao na mogućnost da bi $π$ mogao biti transcendentan
1789.	Jurij Vega izračunao 140 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna	137 dm
1794.	Adrijan-Mari Ležandr pokazao da je i π² (pa samim tim i $π$ ) iracionalan, i spominje mogućnost da je $π$ moguće transcendentan.
1841.	Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna	152 dm
1844.	Zaharija Daze i Štrasnicki	200 dm
1847.	Tomas Klauzen	248 dm
1853.	Leman	261 dm
1853.	Raderford	440 dm
1853.	Vilijam Šenks	527 dm
1855.	Rihter	500 dm
1874.	Vilijam Šenks je posvetio 15 godina izračunavanju 707 decimalnih mesta, ali nisu sva bila tačna (grešku je otkrio D. F. Ferguson 1946. godine)	527 dm
1882.	Lindeman dokazao da je π transcendentan (Lindeman-Vajerštrasova teorema, koju neki zovu i „najlepšom teoremom cele matematike“)
1946.	D. F. Ferguson koristeći stoni kalkulator	620 dm
1947.		710 dm
1947.		808 dm
Svi rekordi od 1949. nadalje izračunati su pomoću elektronskih računara.
1949.	Dž. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit bili su prvi koji su koristili elektronski računar (Enijak) da izračunaju π	2.037 dm
1953.	Maler pokazao da pi; nije Liuvilov broj
1955.	Dž. V. Vrenč, jr. i L. R. Smit	3.089 dm
1961.		100.000 dm
1966.		250.000 dm
1967.		500.000 dm
1974.		1.000.000 dm
1992.		2.180.000.000 dm
1995.	Jasumasa Kanada	> 6.000.000.000 dm
1997.	Kanada i Takahaši	> 51.500.000.000 dm
1999.	Kanada i Takahaši	> 206.000.000.000 dm
2002.	Kanada i tim	> 1.240.000.000.000 dm
2003.	Kanada i tim	> 1.241.100.000.000 dm
April 2004.	Kanada i tim	1.3511 bilion cifara ukupno
Oktobar 2011.	Šigeru Kondo, Aleksander Ji	10 biliona cifara

Numeričke aproksimacije broja π

Zbog transcendentne prirode broja $π$ , ne postoje prikladni zatvoreni izrazi za $π$ . Stoga, numerička izračunavanja moraju koristiti približne vrednosti (aproksimacije) broja. Za puno potreba, 3,14 ili 22/7 je dovoljno blizu, iako inženjeri često koriste 3,1416 ili 3,14159 (5, odnosno 6 značajnih cifara) radi veće preciznosti. Aproksimacije 22/7 i 355/113, sa 3 i 7 značajnih cifara, se dobijaju iz jednostavnog razvoja $π$ u verižni razlomak.

Pored toga, sledeća numerička formula daje aproksimaciju $π$ sa 9 ispravnih cifara:

$(63/25)((17+15{\sqrt {5}})/(7+15{\sqrt {5}}))$

Egipatski pisar po imenu Ahmes je izvor najstarijeg poznatog teksta koji daje približnu vrednost broja $π$ . Rajndov papirus datira iz egipatskog drugog srednjeg perioda–mada Ahmes tvrdi da je prepisivao papirus iz Srednjeg kraljevstva–i opisuje vrednost tako da je dobijeni rezultat zapravo 256 podeljeno sa 81, tj. 3,160.

Kineski matematičar Liu Hui je izračunao $π$ do 3,141014 (tačno do 3 decimalna mesta) 263. godine i predložio da je 3,14 dobra aproksimacija.

Indijski matematičar i astronom Arjabhata dao je preciznu aproksimaciju za $π$ . On je napisao: „Dodaj četiri na sto, pomnoži sa osam, a onda dodaj šezdeset i dve hiljade. Rezultat je približno jednak obimu kruga prečnika dvadeset hiljada. Ovim pravilom dat je odnos između obima i prečnika.“ Drugim rečima, (4+100)×8 + 62.000 je obim kruga prečnika 20.000. Ovo daje vrednost $π$ = 62.832/20.000 = 3,1416, tačnu kada se zaokrugli na 4 decimalna mesta.

Kineski matematičar i astronom Zu Čongži je izračunao $π$ do 3,1415926-3,1415927, i dao dve aproksimacije: 355/113 i 22/7 (u 5. veku).

Iranski matematičar i astronom Gijat ad-din Džamšid Kašani (1350—1439) je izračunao $π$ do 9 cifara u brojnom sistemu sa osnovom 60, što je ekvivalentno sa 16 decimalnih mesta kao:

2

π

= 6,2831853071795865, tj.

π

= 3,141592653589793116

Nemački matematičar Ludolf van Cojlen (oko 1600) je izračunao prvih 35 decimala. Bio je tako ponosan na svoje dostignuće da ih je dao urezati u svoj nadgrobni spomenik.^[18]

Slovenački matematičar Jurij Vega je 1789. izračunao prvih 140 decimala^[19] i držao je svetski rekord 52 godine–sve do 1841–kada je Vilijam Raderford izračunao 208 decimalnih mesta, od kojih su prva 152 bila tačna. Vega je poboljšao formulu Džona Mejčina iz 1706; njegov metod se spominje i danas.

Nijedna od gore datih formula ne može da posluži kao efikasni način nalaženja približnih vrednosti broja $π$ . Za brza izračunavanja, mogu se koristiti formule poput Mejčinove:

{\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}

zajedno sa Tejlorovim razvojem funkcije $\arctan {x}$ . Ova formula se najlakše proverava korišćenjem polarnih koordinata kompleksnih brojeva, krenuvši od:

(5+i)^{4}\cdot (-239+i)=-114244-114244i.

Formule ove vrste su poznate kao formule slične Mejčinovoj.

Ekstremno dugački decimalni razvoji broja $π$ se po pravilu računaju Gaus-Ležandrovim algoritmom i Borvajnovim algoritmom; Salamen-Brentov algoritam koji potiče iz 1976. godine je takođe korišćen u prošlosti.

Prvih milion cifara brojeva $π$ i 1/ $π$ su dostupni na Projektu Gutenberg (vidi spoljašnje veze dole). Trenutni rekord (decembar 2002) ima 1.241.100.000.000 cifara, koje su izračunate u septembru iste godine na 64-čvornom Hitači superračunaru sa jednim terabajtom radne memorije, koji vrši 2 biliona operacija u sekundi, skoro duplo više od računara korišćenog za prethodni rekord (206 milijardi cifara). Korišćene su sledeće formule slične Mejčinovoj:

{\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}

-K. Takano (1982).

{\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}

-F. C. V. Štermer (1896).

Ove približne vrednosti imaju toliko puno cifara da više nemaju nikakvog praktičnog značaja, izuzev za testiranje novih superračunara i (očigledno) za ustanovljavanje novih rekorda u izračunavanju broja $π$ .

Godine 1996. Dejvid H. Bejli je, zajedno sa Piterom Borvajnom i Sajmonom Plufeom, otkrio novu formulu za $π$ u obliku zbira beskonačnog reda:^[20]

\pi =\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)

Ova formula omogućava da se lako izračuna k-ta binarna ili heksadecimalna cifra broja $π$ bez potrebe za računanjem prethodnih k − 1 cifara. Bejlijeva veb-strana sadrži izvođenje ove formule, kao i njenu implementaciju u raznim programskim jezicima. Projekat „PiHeks“ je izračunao bilijarditi bit broja $π$ (koji je, uzgred, 0).

Ostale formule koje su do sada korišćene za izračunavanje približnih vrednosti $π$ uključuju:

{\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+{\frac {4}{9}}(1+...)\right)\right)\right)

(Njutn)

{\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}

(Ramanudžan)

{\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}

(David Čudnovski i Grigorij Čudnovski)

{\pi }=20\arctan {\frac {1}{7}}+8\arctan {\frac {3}{79}}

(Ojler)

Na računarima sa operativnim sistemom Windows, program PiFast može se koristiti za brzo izračunavanje velikog broja cifara. Najveći broj cifara broja $π$ izračunat na kućnom računaru je 25.000.000.000, za koje je PiFast-u trebalo 17 dana.

Otvorena pitanja

Otvoreno pitanje o ovom broju koje najviše pritiska jeste da li je $π$ normalan broj – da li se ma koji blok cifara javlja u njegovom decimalnom razvoju upravo onoliko često koliko bi se statistički moglo očekivati ako bi se cifre proizvodile potpuno „nasumično“. Ovo mora da bude tačno u bilo kojoj osnovi, a ne samo u dekadnom sistemu (osnovi 10).^[21] Trenutno znanje u ovom smeru je veoma oskudno; na primer, ne zna se čak ni koje se od cifara (0-9) pojavljuju beskonačno često u decimalnom razvoju ovog broja.^[22]

Bejli i Krendal su pokazali 2000. godine da postojanje gorepomenute formule Bejli-Borvajn-Plufe i sličnih formula povlači da se tvrđenje o normalnosti broja $π$ i raznih drugih konstanti u osnovi 2 može svesti na izvesnu razumnu pretpostavku u Teoriji haosa.^{[traži se izvor]}

Takođe nije poznato da li su $π$ i $e$ algebarski nezavisni, tj. da li postoji netrivijalna polinomska relacija između ova dva broja sa racionalnim koeficijentima.

Džon Harison (1693—1776) je stvorio muzički sistem izveden iz $π$ .^[23] Ovaj Lusi tjuning sistem, (zbog jedinstvenih matematičkih osobina broja $π$ ) može da oslika sve muzičke intervale, harmonije i harmonike. Ovo sugeriše da bi se korišćenjem $π$ mogao dobiti precizniji model za analizu kako muzičkih, tako i drugih harmonika u vibrirajućim sistemima.

Priroda broja $π$

U hiperboličkoj geometriji, zbir uglova trougla može da bude manji ili veći od $π$ radijana, a odnos obima kruga i njegovog prečnika može se takođe razlikovati od $π$ . Ovo ne menja njegovu definiciju, ali utiče na mnoge formule gde se $π$ pojavljuje. Pa tako, posebno, oblik univerzuma ne utiče na $π$ ; $π$ nije fizička nego matematička konstanta, definisana nezavisno od ma kakvih fizičkih merenja. Razlog zašto se $π$ pojavljuje tako često u fizici je jednostavno zato što je podesan u mnogim fizičkim modelima.

Posmatrajmo, kao primer, Kulonov zakon:

F={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {\left|q_{1}q_{2}\right|}{r^{2}}}

.

Ovde, $4\pi r^{2}\,$ je naprosto površina lopte poluprečnika r. U ovoj formi, ovo je pogodan način opisivanja inverzne kvadratne veze između sile i rastojanja r od tačkastog izvora. Naravno, bilo bi moguće da se ovaj zakon opiše na druge, ali manje zgodne ili, ređe, zgodnije načine. Ako koristimo Plankovo naelektrisanje, Kulonov se zakon može opisati kao $F={\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}$ čime se uklanja potreba za π.

Spominjanja u fikciji

Kontakt — naučno-fantastično delo Karla Sagana, a kasnije filmska adaptacija Džodi Foster. Sagan razmatra mogućnost potpisa, koji su u decimalni razvoj broja $π$ ugradili stvaraoci univerzuma.
$π$ (film) — o vezi između brojeva i prirode: otkrivanje takve veze a da niste numerolog.
Time's Eye („oko vremena“) — naučna fantastika Artura Č. Klarka i Stivena Bakstera. U svetu koji su prestrojile vanzemaljske sile, primećuje se sferična naprava čiji je odnos obima i prečnika po svim ravnima — tačan ceo broj 3.

$π$ kultura

Postoji celo polje šaljivog, ali i ozbiljnog izučavanja koje uključuje korišćenje mnemonika za lakše pamćenje cifara $π$ i zove se pifilologija (PiPhilology).^[24] Pogledajte $π$ mnemonike za primere na engleskom jeziku.

Dan 14. mart (3/14 prema standardu koji važi u SAD) je „Dan broja pi“ (engl. Pi Day)^[25] kojeg proslavlja veliki broj ljubitelja ovog broja.^[26] Dan aproksimacije broja pi proslavlja se 22. jula (22/7 je popularna aproksimacija).^[27]

Štaviše, mnogi ljudi govore i o „ $π$ satima“ (3:14:15 je malo manje od jednog $π$ sata; 3:08:30 bi bilo najbliže broju $π$ sata posle podneva ili ponoći u celim sekundama).

Još jedan primer matematičke igre je sledeća aproksimacija $π$ : Uzmite broj 1234, zamenite mesta prvim dvema i poslednjim dvama ciframa, tako da broj postaje 2143. Podelite taj broj sa „dva–dva“ (22, pa je 2143/22 = 97,40909...). Izvadite 2×2-ti koren (četvrti koren) ovog broja. Konačan rezultat je izuzetno blizu $π$ : 3,14159265.

Vidi još

Reference

^ „Arhimedova konstanta pi”. Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ „Ludolf van Cojlen”. Arhivirano iz originala 03. 05. 2006. g. Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ „Pi do 1.000.000 decimala na piday.org”. Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ Rudin 1976, str. 183.
^ „Jednostavan dokaz da je $π$ iracionalno” (PDF). Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ „About Pi”. Ask Dr. Math FAQ. Pristupljeno 29. 10. 2007.
^ „Transcendentnost broja $π$ ”. Arhivirano iz originala 05. 01. 2008. g. Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ „Kvadratura kruga”. Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ Young 1992, str. 417.
^ Eymard & Lafon 2004, str. 53.
^ Einstein, Albert (1916). „The Foundation of the General Theory of Relativity”. Annalen der Physik (PDF)|format= zahteva |url= (pomoć). |access-date= zahteva |url= (pomoć)
^ Nave, C. Rod (28. 6. 2005). „Coulomb's Constant”. HyperPhysics. Georgia State University. Pristupljeno 9. 11. 2007.
^ „Magnetic constant”. National Institute of Standards and Technology. 2006 Committee on Data for Science and Technology recommended values. Pristupljeno 9. 11. 2007. Proverite vrednost paramet(a)ra za datum: |date= (pomoć)
^ Weisstein, Eric W. (7. 10. 2004). „Gaussian Integral”. MathWorld. Pristupljeno 8. 11. 2007.
^ Weisstein, Eric W. (11. 10. 2005). „Cauchy Distribution”. MathWorld. Pristupljeno 8. 11. 2007.
^ „Vokabular, rečnik srpskog jezika. Definicija reči perimetar, perimetarski”. Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ „The Life of Pi by Jonathan Borwein” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 17. 03. 2007. g. Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ „Ludolph van Ceulen”. Pristupljeno 14. 4. 2009. (jezik: engleski)
^ „Georg Freiherr von Vega”. Arhivirano iz originala 14. 09. 2008. g. Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ [[David H. Bailey Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon|Bailey, David H.]] (1997). „On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants” (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903—913. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. Arhivirano iz originala (PDF) 10. 06. 2011. g. Pristupljeno 14. 04. 2009. Proverite vrednost parametra |author-link1= (pomoć)
^ Weisstein, Eric W. (22. 12. 2005). „Normal Number”. MathWorld. Pristupljeno 10. 11. 2007.
^ Preuss, Paul (23. 7. 2001). „Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key”. Lawrence Berkeley National Laboratory. Arhivirano iz originala 20. 10. 2007. g. Pristupljeno 10. 11. 2007.
^ „LucyTuning”. Pristupljeno 23. 4. 2013.
^ „PiPhilology”. paginas.fe.up.pt. Pristupljeno 2024-02-03.
^ „Pi Day | Celebrate Mathematics on March 14th”. Pi Day (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2024-02-03.
^ „10 fascinating things to know about pi on Pi Day”. Scripps News (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2024-02-03.
^ „Pi Approximation Day – Fun Holiday”. www.timeanddate.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2024-02-03.

Literatura

Rudin, Walter (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis (3 izd.). McGraw-Hill. str. 183. ISBN 978-0-07-054235-8.
Eymard, Pierre; Lafon, Jean-Pierre (2004). „2.6”. The Number $π$ . Stephen S. Wilson (translator). American Mathematical Society. str. 53. ISBN 978-0-8218-3246-2. Pristupljeno 4. 11. 2007.
Young, Robert M. (1992). Excursions in Calculus. Washington: Mathematical Association of America (MAA). str. 417—. ISBN 978-0-88385-317-7.

Spoljašnje veze

Cifre

E-tekst na Projektu Gutenberg koji sadrži milion cifara $π$ Arhivirano na sajtu Wayback Machine (1. jul 2004)
Search $π$ –pretraži i odštampaj $π$ do 200 miliona mesta
Statistike o prvih 1,2 biliona cifara $π$

Proračuni

Opšti

[archimedes-1] „Arhimedova konstanta pi”. Pristupljeno 23. 4. 2013.

[2] „Ludolf van Cojlen”. Arhivirano iz originala 03. 05. 2006. g. Pristupljeno 23. 4. 2013.

[3] „Pi do 1.000.000 decimala na piday.org”. Pristupljeno 23. 4. 2013.

[FOOTNOTERudin1976183-4] Rudin 1976, str. 183.

[5] „Jednostavan dokaz da je $π$ iracionalno” (PDF). Pristupljeno 23. 4. 2013.

[adm-6] „About Pi”. Ask Dr. Math FAQ. Pristupljeno 29. 10. 2007.

[transc-7] „Transcendentnost broja $π$ ”. Arhivirano iz originala 05. 01. 2008. g. Pristupljeno 23. 4. 2013.

[8] „Kvadratura kruga”. Pristupljeno 23. 4. 2013.

[FOOTNOTEYoung1992417-9] Young 1992, str. 417.

[FOOTNOTEEymardLafon200453-10] Eymard & Lafon 2004, str. 53.

[ein-11] Einstein, Albert (1916). „The Foundation of the General Theory of Relativity”. Annalen der Physik (PDF)|format= zahteva |url= (pomoć). |access-date= zahteva |url= (pomoć)

[12] Nave, C. Rod (28. 6. 2005). „Coulomb's Constant”. HyperPhysics. Georgia State University. Pristupljeno 9. 11. 2007.

[13] „Magnetic constant”. National Institute of Standards and Technology. 2006 Committee on Data for Science and Technology recommended values. Pristupljeno 9. 11. 2007. Proverite vrednost paramet(a)ra za datum: |date= (pomoć)

[14] Weisstein, Eric W. (7. 10. 2004). „Gaussian Integral”. MathWorld. Pristupljeno 8. 11. 2007.

[15] Weisstein, Eric W. (11. 10. 2005). „Cauchy Distribution”. MathWorld. Pristupljeno 8. 11. 2007.

[16] „Vokabular, rečnik srpskog jezika. Definicija reči perimetar, perimetarski”. Pristupljeno 23. 4. 2013.

[17] „The Life of Pi by Jonathan Borwein” (PDF). Arhivirano iz originala (PDF) 17. 03. 2007. g. Pristupljeno 23. 4. 2013.

[18] „Ludolph van Ceulen”. Pristupljeno 14. 4. 2009. (jezik: engleski)

[19] „Georg Freiherr von Vega”. Arhivirano iz originala 14. 09. 2008. g. Pristupljeno 23. 4. 2013.

[bbpf-20] [[David H. Bailey Borwein, Peter B., and Plouffe, Simon|Bailey, David H.]] (1997). „On the Rapid Computation of Various Polylogarithmic Constants” (PDF). Mathematics of Computation. 66 (218): 903—913. ISSN 0025-5718. doi:10.1090/S0025-5718-97-00856-9. Arhivirano iz originala (PDF) 10. 06. 2011. g. Pristupljeno 14. 04. 2009. Proverite vrednost parametra |author-link1= (pomoć)

[21] Weisstein, Eric W. (22. 12. 2005). „Normal Number”. MathWorld. Pristupljeno 10. 11. 2007.

[22] Preuss, Paul (23. 7. 2001). „Are The Digits of Pi Random? Lab Researcher May Hold The Key”. Lawrence Berkeley National Laboratory. Arhivirano iz originala 20. 10. 2007. g. Pristupljeno 10. 11. 2007.

[23] „LucyTuning”. Pristupljeno 23. 4. 2013.

[24] „PiPhilology”. paginas.fe.up.pt. Pristupljeno 2024-02-03.

[25] „Pi Day | Celebrate Mathematics on March 14th”. Pi Day (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2024-02-03.

[26] „10 fascinating things to know about pi on Pi Day”. Scripps News (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2024-02-03.

[27] „Pi Approximation Day – Fun Holiday”. www.timeanddate.com (na jeziku: engleski). Pristupljeno 2024-02-03.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

Normativna kontrola
Državne	Španija Nemačka Izrael Sjedinjene Države Japan Češka
Ostale	Enciklopedija Britanika